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ガチャの確率計算

カテゴリ:確率統計

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当選確率 1% のガチャを 100 回やったときに,ひとつ以上あたる確率は?

これは外れる確率 99% のガチャを 100 回連続で外す現象の余事象だ. つまり

1 - 0.99100 = 63.4%

当選確率 2% のガチャを 100 回やったときに,ふたつ以上あたる確率は?

1 回も当たらない確率と 1 回だけ当たる確率とを足し合わせたものの余事象だ. 特定回数だけ当たる確率は 2 項分布で計算できる.

二項分布
2項分布
n:試行回数
k:あたりの当たる回数
p:当選確率
q:外れる確率 = 1-p

combination
組み合わせの計算式

! は階乗の記号で n! は n(n-1)(n-2)……3・2・1 で計算できる.

一度も当たらない確率は 0.98100 で, 一度だけ当たる確率は 100C10.0210.9899 だ. 計算式は以下のようになる.

1 -0.98100 -100C10.0210.9899 = 1 -0.98100 -2*(0.9899) = 0.597 ≒ 60%

組み合わせ(nCk)は WolframAlpha で計算できる.計算するには検索窓に C(n,k) を入力する.上記の例では C(100,1) になる. 結果は Result の場所に表示される.

result
実行結果

ポアソン分布

ガチャのような発生確率が稀で試行回数の多い事象の場合, 特定回数だけあたる確率はポアソン分布で近似できる.

ポアソン分布
ポアソン分布
λ:平均(当選確率 * 試行回数)
k:計算したい当選回数

上記の例の問題をポアソン分布で計算すると, 一度も当たらない確率は 0.135 で,一度だけ当たる確率は 0.271. 1 - 0.135 - 0.271 = 0.594 ≒ 59%.

当選確率 2% のガチャを 99% の確率で手に入れるには何回やればいいか?

これは 98% の確率で外れるガチャが連続で外れる確率を 1% に以下にするには何回やればいいか? という問題と同じだ.式は以下のようになる.

0.98n < 0.01

両辺の対数をとると n * log 0.98 < log 0.01 よって

log 0.98 < 0 なので不等号は反転している.

最終的に n ≒ 228 になる.

log の計算は Google でもできる. Google 検索で log0.01/log0.98 と入力すると計算できる.

コンプガチャの確率計算

Coupon collector's problem(日本語)

ガチャの期待値(期待回数)の計算

1%の確率であたりが当たる場合,その期待値 n は 1 = n * 0.01 で計算できる. この場合 n は 100 だ(ただし実際に 100 回やったときにあたりの出る"確率"は 63.4 %だ).

2種類しかない場合

最初の1枚はダブらないので期待値は1. 2枚目は 1/2 の確率でダブるので,あたりの当たる確率も 1/2.よってその期待値は2. 合計 1 + 2 = 3 回がこのコンプガチャの期待値だ.

3種類ある場合

最初の1枚はダブらないので期待値は1. 2枚目は 1/3 の確率でダブるので,ダブらない(あたりの当たる)確率は 2/3.よってその期待値は3/2. 3枚目は 2/3 の確率でダブるので,ダブらない確率は 1/3.よってその期待値は3. 合計は 1 + 3/2 + 3 = 5.5 回が3種類ある場合のコンプガチャの期待値だ.

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