ガチャの確率計算
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目次
当選確率 1% のガチャを 100 回やったときに、ひとつ以上あたる確率は？
当選確率 2% のガチャを 100 回やったときに、ふたつ以上あたる確率は？
当選確率 1%、天井 100 回のガチャがある。このガチャを 250 回やって、５枚あたりが手に入る確率は？
当選確率 2% のガチャを 99% の確率で手に入れるには何回やればいいか？
当選確率 1% のガチャを 100 回やったときに、ひとつ以上あたる確率は？
これは外れる確率 99% のガチャを 100 回連続で外す現象の余事象だ。つまり
1 - 0.99100 = 63.4%
Google でべき乗を計算するのには ^ を使う。以下の式で Google 検索すると、上記の式を計算できる。
1 - 0.99^100
当選確率 2% のガチャを 100 回やったときに、ふたつ以上あたる確率は？
これは１回も当たらない確率と１回だけ当たる確率とを足し合わせたものの余事象だ。特定回数だけ当たる確率は２項分布で計算できる。
２項分布
n：試行回数
k：あたりの当たる回数
p：当選確率
q：外れる確率 = 1-p
組み合わせの計算式
一度も当たらない確率は 0.98100 で、一度だけ当たる確率は 100C10.0210.9899 だ。計算式は以下のようになる。
1 -0.98100 -100C10.0210.9899 = 1 -0.98100 -2*(0.9899) = 0.597 ≒ 60%
組み合わせ（nCk）はWolframAlphaで計算できる。計算するには検索窓に C(n,k) を入力する。上記の例では C(100,1) になる。結果は Result の場所に表示される。
実行結果
ポアソン分布
ガチャのような発生確率が稀で試行回数の多い事象の場合、特定回数だけあたる確率はポアソン分布で近似できる。
ポアソン分布
λ：平均（当選確率 * 試行回数）
k：計算したい当選回数
上記の例の問題をポアソン分布で計算すると、一度も当たらない確率は 0.135 で、一度だけ当たる確率は 0.271。1 - 0.135 - 0.271 = 0.594 ≒ 59%。
当選確率 1%、天井 100 回のガチャがある。このガチャを 250 回やって、５枚あたりが手に入る確率は？
200 回やっているので２枚は確実に手に入る。よって 250 回で３枚以上手に入る確率を計算する。計算方法は当選確率 2% のガチャを 100 回やったときに、ふたつ以上あたる確率は？を参照。
結果は 45.68%。300 回だと 80.24%。
当選確率 2% のガチャを 99% の確率で手に入れるには何回やればいいか？
これは 98% の確率で外れるガチャが連続で外れる確率を 1% 以下にするには何回やればいいか？という問題と同じだ。式は以下のようになる。
0.98n < 0.01
両辺の対数をとると n * log 0.98 < log 0.01 よって
log 0.98 < 0 なので不等号は反転している。
最終的に n ≒ 228 になる。
log の計算は Google でもできる。Google 検索で log0.01/log0.98 と入力すると計算できる。
コンプガチャの確率計算
ガチャの期待値（期待回数）の計算
Coupon collector's problem（日本語）
アイテムコンプに必要なガチャの回数の期待値を厳密に計算する方法
１％の確率であたりが当たる場合、その期待値 n は 1 = n * 0.01 で計算できる。この場合 n は 100 だ（ただし実際に 100 回やったときにあたりの出る"確率"は 63.4 ％だ）。
２種類しかない場合
最初の１枚はダブらないので期待値は１。２枚目は 1/2 の確率でダブるので、あたりの当たる確率も 1/2。よってその期待値は２。合計 1 + 2 = 3 回がこのコンプガチャの期待値だ。
３種類ある場合
最初の１枚はダブらないので期待値は１。２枚目は 1/3 の確率でダブるので、ダブらない（あたりの当たる）確率は 2/3。よってその期待値は3/2。３枚目は 2/3 の確率でダブるので、ダブらない確率は 1/3。よってその期待値は３。合計は 1 + 3/2 + 3 = 5.5 回が３種類ある場合のコンプガチャの期待値だ。
一般化
n 種類あるコンプガチャをコンプするのに必要な回数の期待値は以下のようになる。
n 種類あるコンプガチャをコンプするのに必要な回数の期待値
コンプガチャの確率計算
期待回数 n がわかれば確率 p は p = 1/n で計算できるが、引く回数が少ない場合はこの方法は誤差が大きい。
２種類の場合
必ずダブらない１回目を無視するとコンプできる確率は 50 %。期待値から計算した確率は 66.6 %。
３種類の場合
３種類以上の場合の確率を計算するには引く回数を指定する必要がある。
４回引く場合
必ずダブらない１回目を無視すると、２回目でダブらない確率は 2/3。３回目でダブらない確率は 1/3。４回引く（必ずダブらない１回目を無視するので実質３回）場合の確率は
(2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(2/3)*(1/3) = 0.44444…
３種類あるコンプガチャを４回で引く確率は 44.4%。期待値から計算した確率は55.2%(計算式は 1 - (1-(1/5.5))^4)
５回引く場合
(2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(2/3)*(1/3) + ((1/3)^2)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*((2/3)^2)*(1/3) = 0.6172
３種類あるコンプガチャを５回で引く確率は 61.7%。期待値から計算した確率は63.3%(計算式は 1 - (1-(1/5.5))^5)