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ボックスガチャの確率計算

カテゴリ:確率統計

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この記事のボックスガチャは景品を引いても補充されず、各景品を引く確率は同様に確からしいとする。

1つしかないあたりを引く確率

ボックス内に景品が 1000 個入っていて、そのうちあたりが1個入っているとする。このときあたりを1回で引く確率は 1/1000 だ。

2回で引く確率は、1回で引く確率+1回目を外して2回目で引く確率なので 1/1000 + (999/1000) * 1/999;つまり 2/1000。

3回で引く確率は、1/1000 + (999/1000) * 1/999 + (999/1000) * (998/999) * 1/998;つまり 3/1000。

まとめるとボックス内に景品が n 個入っていてあたりの個数が1個の場合、m 回ひいたときにそれが出る確率は m/n。

あたりが a 個ありどれかひとつを引く確率

あたりをひとつも引かない確率の余事象を計算する。

まずあたりが2個の場合を考える。ボックス内に景品が 1000 個入っていて、そのうちあたりが2個入っている。

あたりが2個の場合にあたりをひとつも引かない確率

1回で引かない確率は 998/1000。

2回で引かない確率は (998/1000) * (997/999)。

4回で引かない確率は (998/1000) * (997/999) * (996/998) * 995/997;つまり (996*995)/(1000*999) になる。

これを n 回引いたとき(有効な n は 1 <= n <= 999)あたりをひとつも引かない確率は、

((1000-n)*(1000-n-1))/(1000*999)

ボックス内に景品が 1000 個の場合に、ふたつあるあたりのどちらかを引く確率

引く回数を n とすると、あたりをひとつも引かない確率の余事象なので以下のようになる。

inv box 2

あたりが2個の場合の一般化

ボックス内に景品が m 個入っていて、そのうちあたりが2個入っている。 そして景品を引いてもボックスが補充されないとする。 このときボックス内から n 個引いた時ひとつ以上当たる確率は以下のようになる。

inv box general
ボックス内に景品が m 個入っていて、そのうちあたりが2個入っている場合の計算式

あたりが3個の場合

inv box general 3
ボックス内に景品が m 個入っていて、n 回引く。3個あるあたりのどれかひとつ以上を引く確率の計算式

あたりが a 個ありどれかひとつを引ければいい場合の一般化

ボックス内に景品が m 個入っていて、そのうちあたりが a 個入っている。 景品を引く確率はすべて等しく、景品を引いてもボックスが補充されないとする。 このときボックス内から n 個引いた時ひとつ以上当たる確率は以下のようになる。

inv box n general
ボックス内に景品が m 個入っていて、そのうちあたりが a 個入っている場合の計算式

あたりが2つで両方とも引く確率

ボックス内に景品が 1000 個入っていて、そのうちあたりが2個入っている。

このボックスから3回引いたとき、あたりふたつを引く場合の組み合わせは以下のようになる。

×
×
×

確率はそれぞれ(2/1000)*(1/999)*(998/998)、(2/1000)*(998/999)*(1/997)、(998/1000)*(2/999)*(1/998)。まとめると (3*2)/(1000*999)。

4回の場合も同様に計算すると(6*2)/(1000*999)になる。

一般化

景品数が 1000 で、あたりの数が2、引く回数を n とするとあたりをすべて引く確率は以下のようになる。

all general

あたりが3つありすべて引く場合

景品数が 1000 であたりの数が3、引く回数を n とするとあたりをすべて引く確率は以下のようになる。

all 3 general

あたりをすべて引く場合の一般化

ボックス内に景品が m 個入っていて、そのうちあたりが a 個入っている。 そして景品を引いてもボックスが補充されないとする。 これを n 回引いた時あたりをすべて引く確率は以下のようになる。

general

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