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ガチャの確率計算

カテゴリ:確率統計

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English version.

当選確率 1% のガチャを 100 回やったときに、ひとつ以上あたる確率は?

これは外れる確率 99% のガチャを 100 回連続で外す現象の余事象だ。 つまり

1 - 0.99100 = 63.4%

Google でべき乗を計算するのには ^ を使う。以下の式で Google 検索すると、上記の式を計算できる。

1 - 0.99^100

当選確率 2% のガチャを 100 回やったときに、ふたつ以上あたる確率は?

これは1回も当たらない確率と1回だけ当たる確率とを足し合わせたものの余事象だ。 特定回数だけ当たる確率は2項分布で計算できる。

二項分布
2項分布
n:試行回数
k:あたりの当たる回数
p:当選確率
q:外れる確率 = 1-p

combination
組み合わせの計算式

! は階乗の記号で n! は n(n-1)(n-2)……3・2・1 で計算できる。

一度も当たらない確率は 0.98100 で、 一度だけ当たる確率は 100C10.0210.9899 だ。 計算式は以下のようになる。

1 -0.98100 -100C10.0210.9899 = 1 -0.98100 -2*(0.9899) = 0.597 ≒ 60%

組み合わせ(nCk)は WolframAlpha で計算できる。計算するには検索窓に C(n,k) を入力する。上記の例では C(100,1) になる。 結果は Result の場所に表示される。

result
実行結果

ポアソン分布

ガチャのような発生確率が稀で試行回数の多い事象の場合、 特定回数だけあたる確率はポアソン分布で近似できる。

ポアソン分布
ポアソン分布
λ:平均(当選確率 * 試行回数)
k:計算したい当選回数

上記の例の問題をポアソン分布で計算すると、 一度も当たらない確率は 0.135 で、一度だけ当たる確率は 0.271。 1 - 0.135 - 0.271 = 0.594 ≒ 59%。

当選確率 2% のガチャを 99% の確率で手に入れるには何回やればいいか?

これは 98% の確率で外れるガチャが連続で外れる確率を 1% に以下にするには何回やればいいか? という問題と同じだ。式は以下のようになる。

0.98n < 0.01

両辺の対数をとると n * log 0.98 < log 0.01 よって

log 0.98 < 0 なので不等号は反転している。

最終的に n ≒ 228 になる。

log の計算は Google でもできる。 Google 検索で log0.01/log0.98 と入力すると計算できる。

コンプガチャの確率計算

ガチャの期待値(期待回数)の計算

Coupon collector's problem(日本語)

アイテムコンプに必要なガチャの回数の期待値を厳密に計算する方法

1%の確率であたりが当たる場合、その期待値 n は 1 = n * 0.01 で計算できる。 この場合 n は 100 だ(ただし実際に 100 回やったときにあたりの出る"確率"は 63.4 %だ)。

2種類しかない場合

最初の1枚はダブらないので期待値は1。 2枚目は 1/2 の確率でダブるので、あたりの当たる確率も 1/2。よってその期待値は2。 合計 1 + 2 = 3 回がこのコンプガチャの期待値だ。

3種類ある場合

最初の1枚はダブらないので期待値は1。 2枚目は 1/3 の確率でダブるので、ダブらない(あたりの当たる)確率は 2/3。よってその期待値は3/2。 3枚目は 2/3 の確率でダブるので、ダブらない確率は 1/3。よってその期待値は3。 合計は 1 + 3/2 + 3 = 5.5 回が3種類ある場合のコンプガチャの期待値だ。

一般化

n 種類あるコンプガチャをコンプするのに必要な回数の期待値は以下のようになる。

comp gacha eq
n 種類あるコンプガチャをコンプするのに必要な回数の期待値

コンプガチャの確率計算

期待回数 n がわかれば確率 p は p = 1/n で計算できるが、引く回数が少ない場合はこの方法は誤差が大きい。

n=2 の場合

必ずダブらない1回目を無視するとコンプできる確率は 50 %。期待値から計算した確率は 66.6 %。

n=3 の場合

n が3以上の場合の確率を計算するには引く回数を指定する必要がある。

4回引く場合

必ずダブらない1回目を無視すると、2回目でダブらない確率は 2/3。3回目でダブらない確率は 1/3。4回引く(必ずダブらない1回目を無視するので実質3回)場合の確率は

(2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(2/3)*(1/3) = 0.44444…

3種類あるコンプガチャを4回で引く確率は 44.4%。期待値から計算した確率は55.2%(計算式は 1 - (1-(1/5.5))^4)

5回引く場合

(2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(2/3)*(1/3) + ((1/3)^2)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(1/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*((2/3)^2)*(1/3) = 0.6172

3種類あるコンプガチャを5回で引く確率は 61.7%。期待値から計算した確率は63.3%(計算式は 1 - (1-(1/5.5))^5)

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